того, оказывается, что автоколебания в системах с установившейся постоянной составляющей можно легко исследовать с помощью метода эквива-.лентной линеаризации и по двум входным сигналам.

Действительно, если частоты или амплитуды двух гармонических составляющих в достаточной мере отличаются друг от друга, то возникает очень маленькая ошибка, если предположить, что нижняя гармоника есть просто постоян*ная составляющая. Это предположение позволяет многие задачи решить более просто. На основе метода эквива-лентной линеаризации по двум входным сигналам можно проанализировать интересный класс систем, известных как колебательные сервомеханизмы. Можно предположить, что метод эквивалентной двухчастотной линеаризации окажется точнее метода гармонической линеаризации. Однако еще не было проведено исследований по оценке справедливости метода эквивалентной линеаризации по двум входным сигналам.

7.1- ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДЕ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ ДВУХЧАСТОТНОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ. УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА ДЛЯ ПОСТОЯННОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ

Для того чтобы оценить достоинства метода эквивалентной линеариза--ции по двум входным сигналам, рассмотрим случай несимметричной однозначной нелинейности. Внимательный читатель уже заметил, что в гл. 6 большинство исследованных нелинейностей были нечетно симметричными, т. е. / (х) = -f (-х). Лишь в одном случае (пример 6.3) была рассмотрена несимметричная. нелинейность, за которой следовал объект, обладающий дифференцирующими свойствами, так что постоянная составляющая, обусловленная такой нелинейностью, в выходном сигнале объекта не присутствовала, и, следовательно, положением равновесия по-прежнему оставалось начало координат. Такие примеры выбирались не случайно, так как в тех случаях, когда нелинейности не являются нечетно симметричными или в установившемся режиме появляются постоянные составляющие, расчет автоколебаний значительно усложняется (пример 6.8).

В каждом из этих случаев на входе нелинейности появляется постоянная составляющая, так что амплитуда основной гармоники на выходе нелинейности оказывается зависящей не только от амплитуды синусоидального входного сигнала, но и от амплитуды постоянной составляющей. Кроме того, в случае несимметричной нелинейности на выходе появляется постоянная составляющая, которая зависит от входной постоянной составляющей и входной синусоидальной составляющей. Таким образом, приходится определять три неизвестных: амплитуду и частоту колебательной составляющей и величину постоянной составляющей (смещение).

Напомним одно важное свойство, которое связано с прохождением сигналов через несимметричные однозначные нелинейности (теорема 6.1): несимметричные однозначные нелинейности не вызывают фазового сдвига по основной гармонике выходного сигнала.

Рассмотрим следующий пример.

Пример 7.1. Исследуем возможность возникновения автоколебаний в релейной системе управления, изображенной на рис. 7.1, с различными типами линейного элемента G (р)- При этом реле предполагается несимметричным (А =j= В).

Прежде всего рассмотрим случай, когда G (р) содержит интегрирующее звено. Тогда, если во входном сигнале в G (р) имеется постоянная составляющая, то выходной сигнал системы становится неограниченно большим. Работоспособная же релейная система управления должна иметь такие автоколебания, чтобы в сигнале u{t) не было постоянных составляющих. Таким образом, если в системе присутствуют какие-нибудь колебания на основной частоте, то они должны обеспечивать равные положительные и отрицательные периоды работы реле

u(t)

G(p)

в течение периода колебаний. Это показано на рис. 7.2 в виде графиков, из которых видно, что и (t) не содержит постоянной составляющей, а входной сигнал е {t) представляет синусоиду, показанную на рис. 7.2. Сигналы е {t) и у (/) содержат постоянную составляющую, которая накапливается в течение переходного процесса, прежде чем в системе установятся автоколебания. В том случае, когда передаточная функция G (р) имеет хотя бы одно интегрирующее звено, применение метода эквивалентной линеаризации оказывается достаточно простым. Прежде всего определим основную гармонику сигнала и (i), а затем, используя свойства передаточной функции G (р), определим период Т этих колебаний.

Трудности возрастают, когда G (р) не содержит интегрирующих звеньев. В этом случае наряду с автоколебаниями в системе появляется постоянная составляющая, которая содержится в сигналах по всему замкнутому контуру. Естественно предположить, что в этом случае входной сигнал должен включать как постоянную, так и синусоидальную составляющие, а именно: е(/) = а+Psinco/. (7.1)

Очевидно, что постоянная составляющая изменяет форму выходного сигнала, а, следовательно, и амплитуду основной гармоники. Это нетрудно показать, воспользовавшись разложением в ряд Фурье.

Входной сигнал (7.1), проходя через релейный элемент (см. рис. 7.1), будет вызывать его переключение, когда а + Р sin со/ = 0. Имея это в виду, получим следующее выражение для выходного сигнала:

Рис. 7.1. Система управления с несимметричным реле

u{t) =

+Л, -arcsin

: со/-< л + arcsin

-В, п + arcsin -~ со/ 2я - arcsin

(7.2)

Используя разложение сигнала и (О в ряд Фурье, найдем постоянную составляющую этого сигнала в виде

и (/) d (соО = ( л + 2 arcsin - л - 2 arcsin =

= -(Л - В)+-Л arcsin - + В arcsin --- ; (7.3)

для гармонических составляющих справедливы следующие соотношения:

Пл] = ЛлП 2я -arcsin-5

cos со/ d (со/) -!-

If н

- и (О COS ( о =--

ЭХ J Jt

В г

cos со/ d (со/)-- cos со/ d (со/) =

л J

n-(-arcsin---

я-(-агс51п

= 0;

(7.4)

Рис. 7.2. Выходной сигнал с реле ы (/) и сигнал ошибки е (/) релейной системы управления, по-казанной на рис. 7.1

-arcsin

2я - ..с...--

If Br

- и (/) sin со/ d (со/) =--sin со/ d (со/) +

Л J Jt J

ji+arcsin-

sin со/ d (toO -

-arcsin -

3i-f arcsin-

sin tof d (coQ =

.5>

Из выражения (7.4) следует, что в рассматриваемом случае косинусоидальная составляющая равна нулю. Это же следует и из теоремы 6.1. Синусоидальная составляющая выходного сигнала отлична от нуля.

Учитывая взаимное влияние при прохождении через нелинейность постоянной и переменной составляющих, найдем условия, при которых в контуре существуют как постоянная так и переменная составляющие.

Рис. 7.3. Графический способ получения постоянной составляющей а и переменной Р в системе управления:

а - эквивалентные передаточные функции Ni (а, Р) для различных значений а; . б - зависимость Р = Р (а) для заданной

No ( , Р) =-- (получена из рис 7.3, а);

- амплитудно-фазовый годограф С (/со) 1

для определения значения а по пересечению с функцией -

Л, [а, Р (а)]

Тогда можно определить эквивалентную передаточную функцию по постоянной составляющей Ло {а, Р) как отношение постоянных сигналов на выходе и входе, т. е. 2X1 -.

Ло( ,Р) = - -щ\u(t)d(at) =-l-(Л-B) + -J(лarcsiп-- + Barcsiп--). о J

(7.6).

Аналогичным образом определим эквивалентную передаточную функцию по первой гармонике:

~ [ u(t) sin orfd(cuO 4-/ - { и it) cos at d [at)

(7.7>

Тогда условия баланса no постоянной и переменной составляющим запишутся в виде уравнений *

iVo ( , Р) G (0) = -1; (7.8а), Nx (а, Р) G (/со) = -1. (7.86):.

* Следует заметить, что уравнения (7.8а) и (7.86), по сути дела, определяют три уравнения, поскольку соотношение (7.8а) скалярное, а (7.86) - комплексное. Эти три уравнения, и служат для определения величин а, Р и со.