Пример 3.12. Линейное дифференциальное уравнение Эйлера [83] в общем случае имеет вид

rin-1.,

(3.51)

где оо, . . ., о - постоянные. При помощи подстановки t= или т = 1п оно может быть преобразовано в линейное дифференциальное уравнение с постоянньми коэффициентами. Имеем

dx dt

d

dt dx dt

1 dx

t dt

~ dt \ t dt )~

t dt

t dt

VdT/ dt t \dT ax

Л 1 d f d \ / d , \

(3.52).

Подставляя соотношение (3.52) в уравнение (3.51), приходим к линейному уравнению с постоянными коэффициентами. Решая его, можно для элементов переходной матрицы получить выражения в виде функций от т - То, подставляя т = 1п и производя преобразования, - переходную матрицу как функцию t.

Рассмотрим уравнение

в области т оно сводится к виду

Ф (1, То) =

Переходя к нормальным координатам, находим

3g-2(т-То) 2е~ (1-То) g-2 (т-То) g-3 (т-То) -

- 6е~ (т-1о) gg-3 (т-То) 2g-2 (т-То) 3g-3 (X-То)

Отсюда относительно переменной t (после подстановки т == 1п Q получим

дс(г!о)

\ I f \ t / \*/

I-df

(= o-J

Таким образом, переходная матрица для нормальных координат х и имеет вид

Ф it, t,) =

t t

Заметим, что Ф (о, о) = i. Это указывает на правильность полученного результата.

3.8. СОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ

Системе, описываемой уравнением

x = A(t)x + Bit) а.

(3.53>

(3.54)

МОЖНО поставить в соответствие сопряженную систему

= -Л*(0.

где А* (f) - матрица, сопряженцая относительно А (/).

Сопряженная система может быть использована для получения решений некоторого класса задач и для наглядного пояснения особенностей линейной системы. Иногда она используется с целью облегчения расчетов. В части И1 настоящей книги сопряженная система найдет важное применение.

Для исследования некоторых свойств сопряженной системы, рассмотрим пример.

Пример 3.13. Сопряженное уравнение для стационарной системы первого порядка к = ах-\- Ьи имеет вид ])== -oij). Заметим, что по своей структуре это уравнение такое же,

как линейное уравнение х= ах свободной линейной системы, если не считать знака минус перед постоянной а. Поскольку для рассматриваемой системы первого порядка обращение времени и движения системы эквивалентно изменению знака перед х, заключаем, что сопряженная система дает результат, совпадающий с результатом при обращении движения исходной свободной системы.

Можно более точно указать, что означает обращение системы во времени. Интуитивно ясно, что если переходный процесс, вызванный начальными условиями л; (to) = а при t= to, имеет вид, показанный на рис. 3.4, а {спустя Т сек, т. е. при t = to + Т, х (to + Т) = Р), то можно ожидать, что переходный процесс сопряженной системы, вызванный начальными условиями Р, имеет вид, приведенный на рис. 3.4, б (через Т сек ордината процесса должна равняться а). Такая картина сохраняется для любых /о и Г (для любых а и Р). Эти наглядные представления можно сформулировать в виде некоторого условия, налагаемого на систему. Если Ф (t, to) и (t, to) - соответственно одномерные переходные матрицы исходной и обращенной систем, то сказанное выше можно выразить уравнением

Ф (1, to) = ¥ (0, tj). (3.55)

> Таким образом, для линейной стационарной системы первого порядка сопряженная система в точности совпадает со свободной исходной системой при обращении в последней времени, как это показано нами для уравнения (3.55).

Для линейной нестационарной системы понятие обращенного времени проиллюстрировать значительно труднее. Однако для системы первого порядка с переходной матрицей Ф (t, to) исходной системы и переходной матрицей ¥ (t, to) сопряженной системы можно показать, что уравнение (3.55) остается справедливым.

П р и м е р 3.14. Решение системы х = tx имеет вид

Рис. 3.. Реакции стационарной системы первого порядка:

а - обычная; б - обращенная во времени реакция ей-стемы, характеризуемой phg. 3.4. а

Х = Хо

а решение сопряженной системы ]) = -<гз - вид

/ tl-t

Из графиков решений еще не сразу ясно, что одно из них является обращением другого. Поскольку, однако,

Ф (t, = ехр

(t. i ) = exp

TO становится очевидным, что уравнение (3.55) остается справедливым.

Но И В общем случае системы высокого порядка с переходной матрицей Ф и с переходной матрицей сопряженной системы W для всех и имеет место соотношение ¥* (t, to) = Ф (о. i)- Чтобы доказать это, определим сначала переходную матрицу W (t, t) сопряженной системы уравнением

записать

W (t, to) = -А* (t) ЧГ (t, to); {to, to) = /.

(3.56)

Можно

t,)W{t, t,)] = g] (t, to)-\-w*(t, to)-w{t, g =

= l-A * (0 {t, to)]* Ф {f, to) + if {t, to) A (t) Ф {t, to) = = (t, to) A (t) Ф {t, t,) + 4= {t, g A it) Ф {t, to) = 0.

Следовательно,

(t, to) Ф (t, to) = const. (3.57)

Поскольку при t = to это произведение равно /, то и при любом t справедливо {t, to) Ф {t, to) = /. Отсюда

Р * Иг, to) = Ф- (ti, to) = Ф (0. t (3.58)

при любых q и t 1-

До сих пор мы исследовали лишь свободную сопряженную систему. Поскольку, однако, переходная матрица тесно связана с импульсной переходной функцией системы, на основании уравнения (3.58) заключаем, что сопряженная система может с успехом использоваться и при наличии входного сигнала. Проиллюстрируем это на примере.

Пример лЛ5. Рассмотрим переменную во времени линейную систему х = А (t) х + -- b (О и. Предположим, что система записана в нормальной форме, так что

b{t):

-bn(t)

В начальный момент система находится в состоянии покоя. В некоторый неизвестный момент to прикладывается импульсное воздействие и (t). В переходном процессе на этот импульс t-я переменная состояния, как показали наблюдения, достигает своего максимума в .момент t. Найти закон изменения Xf {ti в интервале <о t.

Заметим, что для решения задачи достаточно построить график реакции по /-й переменной Х/ (О в обратном направлении, начиная от точки Xj (4) = х.. Заметим, что Xj (t) зависит от двух параметров: от to (времени приложения импульса) и от (текущего времени). Поэтому будем применять обозначения х (t, to). Нам известно, что xj (t, to) = j. Требуется найти процесс Xj (t-i, tu) как функцию от при ta <3 t.

Обозначим переходную матрицу Ф (t, to) рассматриваемой системы черес 1Ф ]. Аналогично переходную матрицу tf (, т) сопряженной системы = - A{t) tf обозначим как Цц]. Если и (t) - импульс, приложенный Б момент t = to, то можно записать

xj{t. to) = U>in(t, to)b {to). (3.59)